primalité de 2⁷-1=127

Les étapes successives sont représentées ici, ligne après ligne :

				♟			1
			♟	♟	♟		2
♟					♟	♟	3
	♟		♟		♟		4
♟	♟		♟	♟	♟	♟	5
							6

Ce sont les nombres

1. 4
2. 14
3. 67
4. 42 (si, si, 42)
5. 111
6. 0

et comme il a fallu moins de 7 itérations pour que l'échiquier soit vide, on a la preuve que 2⁷-1=127 est premier.

Remarque

Pour tester la primalité de 127, il y a plus court que l'algorithme de Lucas-Lehmer: Comme 127<144, les seuls diviseurs potentiels de 127 à tester sont 2, 3, 5, 7 et 11:

• 127 se termine par 7 et n'est donc divisible ni par 2, ni par 5;
• 1+2+7=10 donc 127 n'est pas divisible par 3 non plus;
• 7×20=140, donc si 127 était divisible par 7, 140-127=13 le serait aussi; on voit que ce n'est pas le cas;
• 127=121-6 et 121 est dans la table de 11, donc 127 n'y est pas.

Par contre, pour des exposants plus grands que 7, l'algorithme de Lucas-Lehmer devient intéressant.